積分 汎関数の極値とEuler方程式

変数 $x$ と関数 $u=\varphi(x)$ とその導関数 $u'$ によって決まる、

　　　 $I = \int_a^bF(x,u,u')dx　　　(x\in(a,b))$

を積分汎関数という。この $I$ が極値をとるような $F$ を求める。

まず $(a,b)$ で $\eta,\eta'$ が連続、 $x=a,b$ で $\eta=0$ となるような

変分 $p(x)$ を使うと $I$ の値変化は、

　　　 $\Delta I= \int_a^b F(x,u+\epsilon\eta,u'+\epsilon'\eta')-F(x,u,u')dx$

　　　　　 $=\epsilon\int_a^b(\eta\frac{\partial F}{\partial u}+\eta'\frac{\partial F}{\partial u'})dx +\epsilon^2 P$

　　　　　 $=\epsilon(\int_a^b \eta\frac{\partial F}{\partial u}dx+|\eta\frac{\partial F}{\partial u'}|_a^b-\int_a^b\eta\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}dx)+\epsilon^2 P$

　　　　　 $=\epsilon\int_a^b\eta(\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u})+\epsilon^2 P=0$

$\epsilon$ の係数を見ると $\eta$ の任意性によって、 $\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}=0$

これをEuler方程式という。　　　

平面上の最短曲線

平面上の2点を結ぶ最短曲線を求める。曲線を $y(x)$ とすると

2点 $P_1,P_2$ 間の曲線の長さは

　　　 $I=\int_{P_1}^{P_2}\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{x(P_1)}^{x(P_2)}\sqrt{1+{y'}^2}dx$

$F=y'$ でEuler方程式は

$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}=\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}=0$ ,

$\therefore \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}=const,　\therefore y'=const$

よって平面上の最短曲線は直線。

曲面上の最短曲線

線素 $ds$ が $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ （*Einstein記法）で与えられている

曲面上の2点 $P_1,P_2$ を結ぶ最短曲線の方程式を求める。

（*ここで $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ は $(i,j)$ の全ての組み合わせの総和をとる。）

$P_1,P_2$ 間の曲線の長さは $s$ に関する微分を・で表すと、

　　　 $I=\int_{P_1}^{P_2}ds=\int_{P_1}^{P_2}\sqrt{g_{ij} \dot{dx^i}\dot{dx^j}}ds$

$F=\sqrt{g_{ij} \dot{dx^i}\dot{dx^j}}$ 、Euler方程式は（kのみを固定することに注意して、）

$\frac{\partial F}{\partial x^k}-\frac{d}{ds}\frac{\partial F}{\partial x^k}=\frac{d}{ds} \frac{g_{kj}\dot{x^j}+g_{ik}\dot{x^i}}{2\sqrt{g_{ij}\dot{x^i}\dot{x^j}}}-\frac{g_{ij,k}\dot{x^i}\dot{x^j}}{2\sqrt{g_{ij}\dot{x^i}\dot{x^j}}}$