2021-04-21

「非整数階微積分(Fractional Calculus)」のススメ

はじめに

ここでは「非整数階微積分」と言うものについて紹介していきたいと思います。

ある程度数学に教養のある方でしたら、

$\displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x)-2\frac{d}{dx}f(x)+f(x)=\sin (x)$

の式にあるような、2回続けて微分を行う「2階微分」について知っていると思います。

「非整数階微積分」はこの「微積分を複数回行う操作」を一般化したものになります。

あらすじ

非整数階微積分を語るのに欠かせない「リーマン＝リュービル積分」を紹介します。

続いてリーマン＝リュービル積分の導き方をあげ、

最後にさまざまな数学の関数への応用についてみていきます。

リーマン＝リュービル積分とは

リーマン＝リュービル積分の式は下のような形をしています。

$\displaystyle _{a}I^{\lambda}_t f(t) \equiv \frac{1}{\Gamma (\lambda)} \int_a^t {(t- \tau)}^{\lambda -1} f(\tau) d\tau$

この式は「関数 $f(x)$ を $\lambda$ 階積分した」物になります。

リーマン=リュービル積分の導き方は主に二つあります。

細かい計算は長くなりますので参考資料をあげておきます。

1つはある積分公式から数学的帰納法によって導く方法です。

>詳しくはこちらの pdf 2.1.1 をお読み下さい。

https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/fractional_calculus/tsuuron_fractional_deriv.pdf

2つめは一般化された「コーシーの積分公式」から複素解析的な計算で導く方法です。

>詳しくはこちらの pdf 11章をお読み下さい。

https://www.researchgate.net/publication/242386925_Fractional_Derivatives_and_Special_Functions

数学関数への応用

非整数階微積分の観点からすると、

有名な数学関数が面白い内容を持っていることがわかります。

ただその前に、上にあげたリーマン＝リュービル積分の式を扱いやすい形にしましょう。

$t-\tau \rightarrow \tau , \quad _{a}I^{\lambda}_t f(t)\equiv \frac{1}{\Gamma (\lambda)} \int_0^{t-a} { \tau}^{\lambda -1} f(t - \tau) d\tau$

1.　ガンマ関数

ガンマ関数の定義は

$\Gamma (z) \equiv \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$

ここで両辺を $\Gamma (z)$ で割ると、

$1 = \frac{1}{\Gamma (z)} \int_0^{0-(-\infty)} t^{z -1} e^{0- t} dt =_{-\infty}I^{z}_0 e^t$

となります。

つまりガンマ関数はその定義域に含まれる任意のzに対して、

「指数関数 $e^t$ を t で z 回積分して $t = 0$ を代入したものは 1 になる」

ことを意味しています。

2.　ベータ関数

ベータ関数の定義は

$B(x,y) \equiv \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt$

この式は $B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ を使うと、

$\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{\Gamma (x)}\frac{(1-t)^{y-1}}{\Gamma(y)} dt = \frac{1}{\Gamma(x+y)} =\int_0^1 \frac{t^{(x+y-1)-1}}{\Gamma (x+y-1)}$

つまりベータ関数は

区間[0,1]での数1に対する積分作用素の畳み込みの式、

$(I^{\alpha}*I^{\beta})(1)=(I^{\alpha+ \beta -1})(1)$

を意味します。

3.　ゼータ関数

ゼータ関数の積分表示式は

$\zeta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)} \int_0^{\infty} \frac{z^{s-1}}{e^z - 1} dz$

ここで指数関数の和

$\Delta (t) \equiv \sum_{n \in N} e^{nt} = \frac{1}{e^t - 1}$

を定義しておくと便利です。

リーマン=リュービル積分より

$_{-\infty}I_0^s (\Delta (t)) = \frac{1}{\Gamma (s)} \int_0^{0-(-\infty)} z^{s-1} \Delta(0-z) dz = \zeta (s)$

つまり指数関数の和 $\Delta (t)$ を s 階積分して $t = 0$ を代入することで

ゼータ関数が得られることがわかります。

終わり

2021-04-20

新生活を支える便利なアイテム「SIGFINN」

#新生活が捗る逸品

新生活を支える便利なアイテム「SIGFINN」について紹介していきます。

私が「SIGFINN」を使うことになったきっかけ

f:id:ENephilim:20210420230308p:plain — 「SIGFINN」の全体像

ちょうど3年前、私は家族とIKEAに出かけました。

たしか、妹のワークチェアを買うために歩き回っていたことを覚えています。

その時見かけて購入した「SIGFINN」がとても便利なのでここで推していきたいと思います。

「SIGFINN」の使いかた

f:id:ENephilim:20210420223059p:plain — パソコンとノートを同時に使用することができます

「SIGFINN」を使えば写真のように、上にパソコン、下にノートを置くことができます。

このようにすればパソコンとノートがかさばりません。

またある程度の高さがあるためパソコンに繋げるコード同士も絡まずに済みます。

「SIGFINN」の類似商品

IKEA には「SIGFINN」に似た商品が他にもあります。

写真はここでは割愛させていただきますが、

高さ調節ができる「BRADA 」、座りながら膝に置いて使える「ISBERGET」があります。

コロナ渦で自宅作業が多い今日、スマートな家具を生活に加えて見てはいかがでしょうか。

2019-07-29

Geometric meaning of Christoffel symbol

　Covariant derivative

Since direction of basis vector might differ between two distinct points on curvature, we have to compare the difference of two vectors by setting their starting points on a single point.

Let $A^i+dA^i(A^i+\delta A^i)$ be a vector which we moved vector $A^i$ (parallel to curvature) from $P_1$ to $P_2$ .

The difference we are looking for is

$DA^i=A^i+dA^i-(A^i+\delta A^i)=dA^i-\delta A^i$

　　　　　Let us define　　　 $\delta A^i=-\Gamma_{kl}^iu^kdx^l$ 　　　and　　　 $A_{;l}^i=\frac{DA^i}{dx^l}$ .

(We will see later that this $\Gamma_{kl}^i$ corresponds to the Cristoffel symbol we saw in geodesic equation.)

then　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $A_{;l}^i=A_{,l}^i+\Gamma_{ik}^iA^k$

since scalar is invariant,　　　 $\delta(u_iu^i)=0,　　A_{i;l}=A_{i,l}-\Gamma_{il}^kA_k$ .

　Riemann tensor

Let us calculate difference the vector make while we move it parallel to infinitely small closed curve on curvature. It is,

$\Delta A_k=\oint\Gamma_{kl}^iA_idx^l,$ 　　then　　 $\frac{\partial A_i}{\partial x^l}=\Gamma_{il}^nA_n$ .

Thus　　　　　 $\Delta A_k=\frac{1}2(\frac{\partial \Gamma_{km}^lA_i}{\partial x^l}-\frac{\partial \Gamma_{kl}^iA_i}{\partial x^m})\Delta f^{lm}　　　(\because Stokes　theorem)$ 　

　　　　　　　　　 $=\frac{1}2(\frac{\partial \Gamma_{km}^i}{\partial x^l}-\frac{\partial \Gamma_{kl}^i}{\partial x^m}+\Gamma_{nl}^i\Gamma_{km}^n-\Gamma_{nm}^i\Gamma_{kl}^n)A_i\Delta f^{lm}$

and here we define

Riemann tensor:　 $R_{klm}^i=\frac{1}2(\frac{\partial \Gamma_{km}^i}{\partial x^l}-\frac{\partial \Gamma_{kl}^i}{\partial x^m}+\Gamma_{nl}^i\Gamma_{km}^n-\Gamma_{nm}^i\Gamma_{kl}^n)$

　Relation between Riemann tensor and Cristoffel symbol

Since scalar is invariant during parallel translation,

$(g_{mn}+g_{mn,b}dx^b)(A^m-\Gamma_{ab}^mA^adx^b)(A^{n}-\Gamma_{ab}^nA^adx^b)=g_{mn}A^mA^n$

Since coefficent of $dx^b$ is zero,

$g_{mn,b}=g_{an}\Gamma_{mb}^a+g_{ma}\Gamma_{nb}^a=\Gamma_{nmb}+\Gamma_{mnb}$

　　　　　　　　also　　 $g_{mb,n}=\Gamma_{bmn}+\Gamma_{mbn},　　g_{bn,m}=\Gamma_{mnb}+\Gamma_{bnm}$ .

thus　　　　　　　　 $\Gamma_{bn}^c=g^{cn}\Gamma_{cbn}=\frac{1}2g^{cm}(g_{an,m}+g_{ma,n}-g_{nm,a})$ .

Later we will use the results of these long calculations when we calculate the radius of blackhole; event horizon.

　Reference

The Classical Theory of Fields (L.D.Landau and E.M.Lifshitz)

2019-07-21

平方剰余の相互法則 -Quadratic Reciprocity Law-

　今日はEuler、Legendreが問題提出してGaussが解決した平方剰余の相互法則を紹介します。この法則はあるaと素数pに対して、

　　　 $x^2=a　(mod.p)$

が解を持つかを計算するのに使われます。

Today, I'll introduce the Quadratic Reciprocity Law which has been submitted as a mathematical problem by Euler, Legendre and solved by Gauss. This law is used to find out whether equation

　　　 $x^2=a　(mod.p)$

where p is a prime number has a root or not.

　Fermatの小定理 -Fermat's Little Theorem-

(証明)　 $\Omega$ を標数pの代数的閉体とする。

　　 $A=\{x|x^p=x,x\in\Omega\}$ とおくと、 $A\subset\Omega$ 、

　また、 $(x^p-x)'=px^{p-1}-1=-1$ 　よりAの個数はpで、 $A=\Omega$

　よって $x^p-x=0$ 　//

( $Proof$ )　Let $\Omega$ be algebracially closed field of charecteristic p,

　　 $A=\{x|x^p=x,x\in\Omega\}$ 　then　 $A\subset\Omega$ .

　since　 $(x^p-x)'=px^{p-1}-1=-1,　Card(A)=p　\mathrm{then}　A=\Omega$

　thus　 $x^p-x=0$ 　//

　Legendre記号 -Legendre's Symbol-

　 $F_p^*$ を乗法群とすれば $x\in{F_p^*}$ は $x^{\frac{p-1}2}=\pm1$ を満たす。

　ここでLegendre記号を $(\frac{x}p)=x^{\frac{p-1}2}$ と定義する。

　この記号は x が平方数かどうかの指標になっていることがわかる。実際、

　x が平方数ならば　 $x=y^2,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1,　\therefore({\frac{x}p})=1$

　 $(\frac{x}p)=1$ 　ならば　 $x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1$ 　を満たす y が存在し x は平方数。

　Let $F_p^*$ be mutiplicative group, then $x\in{F_p^*}$ satisfies $x^{\frac{p-1}2}=\pm1$ .

　We define Legendre's symbol by $(\frac{x}p)=x^{\frac{p-1}2}$ . This symbol tells whether x is a square or not.

　In fact, when x is square,　 $x=y^2,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1,　\therefore({\frac{x}p})=1$

　If $(\frac{x}p)=1,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1$ 　has root y and x is square.

　相互法則 -Reciprocity Law-

定理　1)　 $(\frac{-1}p)=(-1)^{\frac{p-1}2}$

　　　2)　 $(\frac{2}p)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}$

　　　3)　 $(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}$

　1)　は定義より明らか

　2)　 $\alpha$ を1の原始8乗根とすると $\alpha^4=-1,　\therefore \alpha^2+\alpha^{-2}=0.$

　　　 $y=\alpha+\alpha^{-1}$ は $y^2=2$ を満たす。

　　　また $y^p=\alpha^p+\alpha^{-p}$ より、

　　　 $p=\pm1(mod.8)$ ならば、 $y^p=y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=1$

　　　 $p=\pm5(mod.8)$ ならば、 $y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=-1$

　3)　1の原始l乗根を w とおき、

　　　Gaussの和: $y=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^l$ 　を定義する。

　　　(補題.1)　 $y^2=(-1)^{l-1}l$

　　　(証)　 $y^2=\sum_{x,z}(\frac{xz}l)w^{x+z}=\sum_{u\in F_l}w^u\sum_{t\in F_l}(\frac{t(u-t)}l)$

　　　　　　( $(\frac{t(u-t)}l)=(\frac{-t^2}l)(\frac{1-ut^{-1}}l)=(-1)^{\frac{l-1}2}(\frac{1-ut^{-1}}l)$ より、)

　　　　　　 $=(-1)^{\frac{l-1}2}\sum_{u\in F_l}C_uw^u　(C_u=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1-ut^{-1}}l))$

(　 $u=0$ ならば、 $C_0=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1}l)=l-1,$

　 $u\neq 0$ ならば、 $s=1-ut^{-1}$ は $F_l-\{1\}$ をわたるので $C_u=\sum_{t\in F_l}(\frac{s}l)-(\frac{1}l)=-(\frac{1}l)=-1$ 　)

　　　　　　よって、 $\sum_{u\in F_l}C_uw^u=l-1-\sum_{u\in F_l^*}w^u=l$ 　//

　　　(補題.2)　 $y^{p-1}=(\frac{p}l)$

　　　(証)　 $y^p=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^{xp}=\sum_{x\in F_l}(\frac{zp^{-1}}l)w^z=(\frac{p^{-1}}l)y=(\frac{p}l)y$ 　//

　　　(定理の証明)　補題1,2より $(\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}l}p)=y^{p-1}=(\frac{p}l)$

　　　　　　　　　　定理2より $(\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}}p)=(-1)^{\frac{l-1}2\frac{p-1}2}$

　　　　　　　　　　よって $(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}$ 　//

　　　この結果は後にHilbert記号に拡張され、二次不定方程式の解の構造を調べるのに使われる。

Theorem 1)　 $(\frac{-1}p)=(-1)^{\frac{p-1}2}$

　　　　2)　 $(\frac{2}p)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}$

　　　　3)　 $(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}$

　1) Clear

　2) Let $\alpha$ be primitive 8-th root of unity, then $\alpha^4=-1,　\therefore \alpha^2+\alpha^{-2}=0.$

　　The element $y=\alpha+\alpha^{-1}$ verifies $y^2=2$

　　Also since $y^p=\alpha^p+\alpha^{-p}$ ,

　　If $p=\pm1(mod.8)$ 、 $y^p=y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=1$

　　If $p=\pm5(mod.8)$ 、 $y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=-1$

　3) Let w be primitive l-th root of unity,

　　and we define Gauss Sum: $y=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^l$

　　Lemma.1　 $y^2=(-1)^{l-1}l$

( $Proof$ ) $y^2=\sum_{x,z}(\frac{xz}l)w^{x+z}=\sum_{u\in F_l}w^u\sum_{t\in F_l}(\frac{t(u-t)}l)$

　　　　　　　( since $(\frac{t(u-t)}l)=(\frac{-t^2}l)(\frac{1-ut^{-1}}l)=(-1)^{\frac{l-1}2}(\frac{1-ut^{-1}}l)$ 、)

　　　　　　　 $=(-1)^{\frac{l-1}2}\sum_{u\in F_l}C_uw^u　(C_u=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1-ut^{-1}}l))$

( If $u=0$ 、 $C_0=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1}l)=l-1,$

　　If $u\neq 0$ 、 $s=1-ut^{-1}$ runs over $F_l-\{1\}$ then $C_u=\sum_{t\in F_l}(\frac{s}l)-(\frac{1}l)=-(\frac{1}l)=-1$ )

　　thus, $\sum_{u\in F_l}C_uw^u=l-1-\sum_{u\in F_l^*}w^u=l$ 　//

　　Lemma.2　 $y^{p-1}=(\frac{p}l)$

( $Proof$ ) $y^p=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^{xp}=\sum_{x\in F_l}(\frac{zp^{-1}}l)w^z=(\frac{p^{-1}}l)y=(\frac{p}l)y$ 　//

　　( $Proof of theorem$ )

　　　By Lemma.1,2, $(\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}l}p)=y^{p-1}=(\frac{p}l)$

　　　By Theorem.2, $(\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}}p)=(-1)^{\frac{l-1}2\frac{p-1}2}$

　　　thus, $(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}$ 　//

　This results are later extended to Hilbert symbol and used to find the structure of roots of quadratic Diophantine equations.

参考文献 -References-

　A Course in Arithmetic　(　Jean-Pierre-Serre　)

2019-07-15

変分法

積分 汎関数の極値とEuler方程式

変数 $x$ と関数 $u=\varphi(x)$ とその導関数 $u'$ によって決まる、

　　　 $I = \int_a^bF(x,u,u')dx　　　(x\in(a,b))$

を積分汎関数という。この $I$ が極値をとるような $F$ を求める。

まず $(a,b)$ で $\eta,\eta'$ が連続、 $x=a,b$ で $\eta=0$ となるような

変分 $p(x)$ を使うと $I$ の値変化は、

　　　 $\Delta I= \int_a^b F(x,u+\epsilon\eta,u'+\epsilon'\eta')-F(x,u,u')dx$

　　　　　 $=\epsilon\int_a^b(\eta\frac{\partial F}{\partial u}+\eta'\frac{\partial F}{\partial u'})dx +\epsilon^2 P$

　　　　　 $=\epsilon(\int_a^b \eta\frac{\partial F}{\partial u}dx+|\eta\frac{\partial F}{\partial u'}|_a^b-\int_a^b\eta\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}dx)+\epsilon^2 P$

　　　　　 $=\epsilon\int_a^b\eta(\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u})+\epsilon^2 P=0$

$\epsilon$ の係数を見ると $\eta$ の任意性によって、 $\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}=0$

これをEuler方程式という。　　　

平面上の最短曲線

平面上の2点を結ぶ最短曲線を求める。曲線を $y(x)$ とすると

2点 $P_1,P_2$ 間の曲線の長さは

　　　 $I=\int_{P_1}^{P_2}\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{x(P_1)}^{x(P_2)}\sqrt{1+{y'}^2}dx$

$F=y'$ でEuler方程式は

$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u}=\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}=0$ ,

$\therefore \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}=const,　\therefore y'=const$

よって平面上の最短曲線は直線。

曲面上の最短曲線

線素 $ds$ が $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ （*Einstein記法）で与えられている

曲面上の2点 $P_1,P_2$ を結ぶ最短曲線の方程式を求める。

（*ここで $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ は $(i,j)$ の全ての組み合わせの総和をとる。）

$P_1,P_2$ 間の曲線の長さは $s$ に関する微分を・で表すと、

　　　 $I=\int_{P_1}^{P_2}ds=\int_{P_1}^{P_2}\sqrt{g_{ij} \dot{dx^i}\dot{dx^j}}ds$

$F=\sqrt{g_{ij} \dot{dx^i}\dot{dx^j}}$ 、Euler方程式は（kのみを固定することに注意して、）

$\frac{\partial F}{\partial x^k}-\frac{d}{ds}\frac{\partial F}{\partial x^k}=\frac{d}{ds} \frac{g_{kj}\dot{x^j}+g_{ik}\dot{x^i}}{2\sqrt{g_{ij}\dot{x^i}\dot{x^j}}}-\frac{g_{ij,k}\dot{x^i}\dot{x^j}}{2\sqrt{g_{ij}\dot{x^i}\dot{x^j}}}$

　　　　　　 $=\frac{d}{ds} \frac{g_{kj}\dot{x^j}+g_{ik}\dot{x^i}}2-\frac{g_{ij,k}\dot{x^i}\dot{x^j}}2　(\because\sqrt{g_{ij}\dot{x^i}\dot{x^j}}=1 )$

　　　　　　 $=g_{ki}\ddot{x^i}+\frac{1}2(g_{kj,i}+g_{ki,j}-g_{ij,k})\dot{x^i}\dot{x^j}=0$

第2項のiの任意性とChristoffel記号の定義 $\Gamma_{kij}=\frac{1}2(g_{kj,i}+g_{ki,j}-g_{ij,k})$ より、

　　　　　 $g_{ki}\ddot{x^i}+\Gamma_{kij}\dot{x^i}\dot{x^j}=0$

各々のkに関して上式に、 $\sum_k g^{ik}g_{kj}= \delta_{ij}$ によって定義される $g^{ik}$

をかけて足した和は、

　　　 $g^{ik}g_{ki}\ddot{x^i}+g^{ik}\Gamma_{klj}\dot{x^l}\dot{x^j}$

　　　 $=\ddot{x^i}+\Gamma_{lj}^i\dot{x^l}\dot{x^j}=0　　(　\because　\Gamma_{lj}^iの定義　)$

これを測地線の方程式という。

参考文献

数学演習（著.　後藤憲一、山本邦夫、神吉健　）

2019-07-07

n次元球の体積と表面積の求め方

自分が読んでいる本に面白いことが書いてあったのでここにまとめておきます。

準備

・　Gauss積分　 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{x}^{2}}dx = \pi^{\frac{1}2}$

(証)　　　 $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy$

　　　 $= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2}rdrd\theta$ 　　　　　　　　　

　　　 $= \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr \int_{0}^{2\pi}d\theta$ 　　　　　　　　　

　　　 $= \langle-\frac{e^{-r^2}}2\rangle_0^\infty \langle\theta\rangle_0^{2\pi}$

　　　 $= \pi$ 　　　　　　　　　

　　　 $\therefore \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{x}^{2}}dx = \pi^{\frac{1}2}$ 　　　　　　

本題

まず一般的に、空間 $R^n$ 上で重み $f(x_1,x_2,,,x_n)$ をかけた空間積分、

　　　　　　　　 $\int_{R^n}f(x_1,x_2,,,x_n) dx_1dx_2,,dx_n$

を考えます。ここで　 $f(x)=e^{-({x_1}^{2}+{x_2}^{2}+...+{x_n}^{2})}=e^{-r^2}$ として、

n次元の半径rの球の表面積を $A_n(r)$ と書くことにすると上の式は、

　 $\int_{R^n}e^{-({x_1}^{2}+{x_2}^{2}+...+{x_n}^{2})}dx_1dx_2,,dx_n$

$=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}A_n(r)dr$ （ $\because$ 原点を中心とした球の表面で空間を分割）

$=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}r^{n-1}A_n(1)dr$ （ $\because A_n(r)$ は $r^{n-1}$ に比例）

ここで　 $t=r^2$ 　と置くと、

$=\frac{1}2A_n(1)\int_{0}^{\infty}t^{\frac{n}2-1}e^{-t}dt$

$=\frac{1}2A_n(1)\Gamma(\frac{n}2)$ 　(*ガンマ関数の定義　 $\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt)$

よって ${\pi^\frac{n}2}=\frac{1}2A_n(1)\Gamma(\frac{n}2),　\therefore　A_n(1)=\frac{2\pi^{\frac{n}2}}{\Gamma(\frac{n}2)}、　A_n(r)=\frac{2\pi^{\frac{n}2}r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}2)}$

よって半径rのn次元球の体積、 $V_n(r)$ は

$V_n(r)=\int_0^rA_n(x)dx=\frac{\pi^{\frac{n}2}r^n}{\Gamma(\frac{n}2+1)}$ 　//

この結果は量子統計で状態数の数え上げに使われることになる。

参考文献

・フーリエ解析入門（エリアス・M・エムスタイン,ラミ・シャカルチ.著）