平方剰余の相互法則 -Quadratic Reciprocity Law-

 

　今日はEuler、Legendreが問題提出してGaussが解決した平方剰余の相互法則を紹介します。この法則はあるaと素数pに対して、

　　　x^2=a　(mod.p)

が解を持つかを計算するのに使われます。

Today, I'll introduce the Quadratic Reciprocity Law which has been submitted as a mathematical problem by Euler, Legendre and solved by Gauss. This law is used to find out whether equation

　　　x^2=a　(mod.p)

where p is a prime number has a root or not.

 

　Fermatの小定理 -Fermat's Little Theorem-

 

(証明)　\Omega を標数pの代数的閉体とする。

　　A=\{x|x^p=x,x\in\Omega\}とおくと、A\subset\Omega、

　また、(x^p-x)'=px^{p-1}-1=-1　よりAの個数はpで、A=\Omega

　よってx^p-x=0　//

(Proof)　Let \Omega be algebracially closed field of charecteristic p,

　　A=\{x|x^p=x,x\in\Omega\}　then　A\subset\Omega.

　since　(x^p-x)'=px^{p-1}-1=-1,　Card(A)=p　\mathrm{then}　A=\Omega

　thus　x^p-x=0　//

 

　Legendre記号 -Legendre's Symbol-

 

　F_p^* を乗法群とすれば x\in{F_p^*} は x^{\frac{p-1}2}=\pm1 を満たす。

　ここでLegendre記号を (\frac{x}p)=x^{\frac{p-1}2} と定義する。

　この記号は x が平方数かどうかの指標になっていることがわかる。実際、

　x が平方数ならば　x=y^2,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1,　\therefore({\frac{x}p})=1

　(\frac{x}p)=1　ならば　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1　を満たす y が存在し x は平方数。

 

　Let F_p^* be mutiplicative group, then x\in{F_p^*} satisfies x^{\frac{p-1}2}=\pm1.

　We define Legendre's symbol by (\frac{x}p)=x^{\frac{p-1}2}. This symbol tells whether x is a square or not.

　In fact, when x is square,　x=y^2,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1,　\therefore({\frac{x}p})=1

　If (\frac{x}p)=1,　x^{\frac{p-1}2}=y^{p-1}=1　has root y and x is square.

 

 

　相互法則 -Reciprocity Law-

 

定理　1)　(\frac{-1}p)=(-1)^{\frac{p-1}2}

　　　2)　(\frac{2}p)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}

　　　3)　(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}

 

　1)　は定義より明らか

　2)　\alpha を1の原始8乗根とすると \alpha^4=-1,　\therefore \alpha^2+\alpha^{-2}=0.

　　　y=\alpha+\alpha^{-1} は y^2=2 を満たす。

　　　また y^p=\alpha^p+\alpha^{-p} より、

　　　p=\pm1(mod.8) ならば、y^p=y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=1

　　　p=\pm5(mod.8) ならば、y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=-1

　3)　1の原始l乗根を w とおき、

　　　Gaussの和: y=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^l　を定義する。

 

　　　(補題.1)　y^2=(-1)^{l-1}l

　　　(証)　y^2=\sum_{x,z}(\frac{xz}l)w^{x+z}=\sum_{u\in F_l}w^u\sum_{t\in F_l}(\frac{t(u-t)}l)

　　　　　　((\frac{t(u-t)}l)=(\frac{-t^2}l)(\frac{1-ut^{-1}}l)=(-1)^{\frac{l-1}2}(\frac{1-ut^{-1}}l) より、)

　　　　　　=(-1)^{\frac{l-1}2}\sum_{u\in F_l}C_uw^u　(C_u=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1-ut^{-1}}l))

 

(　u=0 ならば、C_0=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1}l)=l-1,

　u\neq 0 ならば、s=1-ut^{-1} は F_l-\{1\} をわたるので C_u=\sum_{t\in F_l}(\frac{s}l)-(\frac{1}l)=-(\frac{1}l)=-1　)

　　　　　　よって、\sum_{u\in F_l}C_uw^u=l-1-\sum_{u\in F_l^*}w^u=l　//

 

　　　(補題.2)　y^{p-1}=(\frac{p}l)

　　　(証)　y^p=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^{xp}=\sum_{x\in F_l}(\frac{zp^{-1}}l)w^z=(\frac{p^{-1}}l)y=(\frac{p}l)y　//

 

　　　(定理の証明)　補題1,2より (\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}l}p)=y^{p-1}=(\frac{p}l)

　　　　　　　　　　定理2より (\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}}p)=(-1)^{\frac{l-1}2\frac{p-1}2}

　　　　　　　　　　よって (\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}　//

 

　　　この結果は後にHilbert記号に拡張され、二次不定方程式の解の構造を調べるのに使われる。

 

Theorem 1)　(\frac{-1}p)=(-1)^{\frac{p-1}2}

　　　　2)　(\frac{2}p)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}

　　　　3)　(\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}

 

　1) Clear

　2) Let \alpha be primitive 8-th root of unity, then \alpha^4=-1,　\therefore \alpha^2+\alpha^{-2}=0.

　　The element y=\alpha+\alpha^{-1} verifies y^2=2

　　Also since y^p=\alpha^p+\alpha^{-p},

　　If p=\pm1(mod.8)、y^p=y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=1

　　If p=\pm5(mod.8)、y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y　\therefore　(\frac{2}p)=y^{p-1}=-1

　3) Let w be primitive l-th root of unity,

　　and we define Gauss Sum: y=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^l

 

　　Lemma.1　y^2=(-1)^{l-1}l

(Proof) y^2=\sum_{x,z}(\frac{xz}l)w^{x+z}=\sum_{u\in F_l}w^u\sum_{t\in F_l}(\frac{t(u-t)}l)

　　　　　　　( since (\frac{t(u-t)}l)=(\frac{-t^2}l)(\frac{1-ut^{-1}}l)=(-1)^{\frac{l-1}2}(\frac{1-ut^{-1}}l)、)

　　　　　　　=(-1)^{\frac{l-1}2}\sum_{u\in F_l}C_uw^u　(C_u=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1-ut^{-1}}l))

 

( If u=0、C_0=\sum_{t\in F_l^*}(\frac{1}l)=l-1,

　　If u\neq 0、s=1-ut^{-1} runs over F_l-\{1\} then C_u=\sum_{t\in F_l}(\frac{s}l)-(\frac{1}l)=-(\frac{1}l)=-1 )

　　thus,\sum_{u\in F_l}C_uw^u=l-1-\sum_{u\in F_l^*}w^u=l　//

 

　　Lemma.2　y^{p-1}=(\frac{p}l)

(Proof) y^p=\sum_{x\in F_l}(\frac{x}l)w^{xp}=\sum_{x\in F_l}(\frac{zp^{-1}}l)w^z=(\frac{p^{-1}}l)y=(\frac{p}l)y　//

 

　　(Proof of theorem)

　　　By Lemma.1,2, (\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}l}p)=y^{p-1}=(\frac{p}l)

　　　By Theorem.2, (\frac{(-1)^{\frac{l-1}2}}p)=(-1)^{\frac{l-1}2\frac{p-1}2}

　　　thus, (\frac{l}p)(\frac{p}l)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{l-1}2}　//

 

　This results are later extended to Hilbert symbol and used to find the structure of roots of quadratic Diophantine equations.

 

参考文献 -References-

　A Course in Arithmetic　(　Jean-Pierre-Serre　)