n次元球の体積と表面積の求め方

自分が読んでいる本に面白いことが書いてあったのでここにまとめておきます。

 

準備

・　Gauss積分　\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{x}^{2}}dx = \pi^{\frac{1}2}

 

(証)　　　\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy

　　　= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2}rdrd\theta　　　　　　　　　

　　　= \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr \int_{0}^{2\pi}d\theta　　　　　　　　 　

　　　= \langle-\frac{e^{-r^2}}2\rangle_0^\infty \langle\theta\rangle_0^{2\pi}

　　　= \pi　　　　　　　　　

　　　　\therefore \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{x}^{2}}dx = \pi^{\frac{1}2}　　　　　　

 

本題

 

まず一般的に、空間 R^n 上で重み f(x_1,x_2,,,x_n) をかけた空間積分、

 

　　　　　　　　\int_{R^n}f(x_1,x_2,,,x_n) dx_1dx_2,,dx_n

 

を考えます。ここで　f(x)=e^{-({x_1}^{2}+{x_2}^{2}+...+{x_n}^{2})}=e^{-r^2}として、

n次元の半径rの球の表面積をA_n(r)と書くことにすると上の式は、

 

　\int_{R^n}e^{-({x_1}^{2}+{x_2}^{2}+...+{x_n}^{2})}dx_1dx_2,,dx_n

=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}A_n(r)dr（\because 原点を中心とした球の表面で空間を分割）

=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}r^{n-1}A_n(1)dr（\because A_n(r)はr^{n-1}に比例）

 

ここで　t=r^2　と置くと、

=\frac{1}2A_n(1)\int_{0}^{\infty}t^{\frac{n}2-1}e^{-t}dt

=\frac{1}2A_n(1)\Gamma(\frac{n}2)　(*ガンマ関数の定義　\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt)

 

よって {\pi^\frac{n}2}=\frac{1}2A_n(1)\Gamma(\frac{n}2),　\therefore　A_n(1)=\frac{2\pi^{\frac{n}2}}{\Gamma(\frac{n}2)}、　A_n(r)=\frac{2\pi^{\frac{n}2}r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}2)}

よって半径rのn次元球の体積、V_n(r)は

V_n(r)=\int_0^rA_n(x)dx=\frac{\pi^{\frac{n}2}r^n}{\Gamma(\frac{n}2+1)}　//

 

この結果は量子統計で状態数の数え上げに使われることになる。

 

参考文献

・フーリエ解析入門（エリアス・M・エムスタイン,ラミ・シャカルチ.著）